Función periódica

Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama período y significa que:

f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = ... = f(x + k · T), siendo k un número entero

Esto quiere decir que, conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha y a la izquierda por todo el dominio de la función.

La gráfica de una función periódica es del tipo:

Esta gráfica se repite cada intervalo de longitud 2, luego el período es T = 2.

Funciones Periodicas

Una funcion es periodica de periodo T si y solo si

F(x+T)= f(x).

Para todo x perteneciente al dominio de definicion.

Las funciones periodicas mas importantes son las funciones circulares de Seno, Coseno y Tangente

Función Periódica:

F(x+T) = f(x)

En T periodo = 360º = 2π = 2(180º)

Generalmente las funciones trigonometricas son funciones periódicas, El menor de tales valores positivos de t (si existe) se llama el período de f. Cada una de las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 π y las otras dos funciones trigonométricas (tangente y cotangente) tienen período π

Ya que las funciones seno, coseno, secante, cosecante tienen período 2π, una vez que conocemos sus valores para 0 “ x < 2π, tenemos todos sus valores; de manera análoga, ya que las funciones tangente y cotangente tienen período, una vez que conocemos sus valores para 0 “ x <π, tenemos todos sus valores.

Las funciones trigonométricas sirven como modelo pera expresar matemáticamente las características de las ondas sonoras. Y a continuación se verán algunas de sus propiedades.

Comencemos por la más simple:

La función f(x)=sin x tiene la representación gráfica siguiente:

La gráfica de la función se repite al incrementar o disminuir el valor de x. A partir de la que se encuentra en el intervalo [0, 2 ], se podría generar todo el resto, Seguirá periódicamente.

Esto es debido a la propiedad siguiente: sin x = sin (2 +x), para cualquier ángulo x. Diremos que la función f(x) = sin x es una función periódica de periodo 2 . Esto viene a decir que la onda se repetirá cada 2 .

Consideremos la función f(x) = 3 sin x:

Gráficamente, ha sufrido una deformación. Ha habido un estiramiento en dirección vertical. El periodo continúa siendo el mismo que el de la función f(x) = sin x, es decir, la onda continúa teniendo la misma longitud pero podemos ver que ha aumentado su amplitud de onda (A).

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

PARA PENSAR

Observar la grafica de las unciones, luego responder

GRAFICA  N°1

27: Es posible hablar de amplitud en esta función?  Justificar la respuesta

R/  Si porque el valor máximo es 1 y el valor mínimo es -1

28: Cual es el periodo de la función?

R/  El periodo es:   T= 2TT/B

                                  T=5

29: Que función podrá representar la grafica anterior?

R/ La función es: Y= 1SEN2TT/5X

GRAFICA N°2

30: La función anterior tiene la forma: u(x)=asen (bx +c) + d justificar la respuesta

R/ Porque +C, indica que la función se alarga o desfasa hacia la derecha

Senx porque la función traslada su corte en el origen D unidades

D: porque la función se traslada D unidades hacia arriba

L a función se comprime verticalmente  D unidades arriba, y C unidades horizontalmente a la derecha.

31: escribir el periodo y la amplitud de la función anterior

R/   Amplitud: su amplitud es de 2,5

       Periodo: T= 2TT/B

       T=4/5

       4/5= 2TT/B

      4B=1OTT

      B= 10TT/4

     B= 5TT/2

     B= 2,5TT

32: Escribir una fórmula que represente la función anterior

R/  Y=2,5Sen2, 5TT X

RAZONAMIENTO: Escribir V si la afirmación es verdadera o  F si la afirmación es falsa.

26: La función Y=2sen(X-TT) esta desplazada TT unidades.

R/ verdadero porque:

X=-C/B

X=-(-TT)/1

X=TT

X=TT, se desplaza TT unidades a la derecha horizontalmente..

MODELACION: en una rueda de chicago, el ángulo central formado entre una canastilla y canastilla de 30°. Cuando una canastilla realiza un giro completo describe una trayectoria de de la formula Y= 2 sen (Bx + C) 

28: escribir la ecuación de las trayectorias seguidas por las canastillas N y T.

R/  trayectoria completa X= 360°

Trayectoria para X=30°

                              360°/30°= 12°

Trayectoria para N y T: Y= 2 sen (B X/12 +C)

29: Si una canastilla P está ubicada 90° con respecto a la canastilla M, escribir una ecuación que represente su movimiento en un giro completo.

R/   Trayectoria completa: X=360°

Para X= 90°

         360°/90°=4°

Si la canastilla P está ubicada 90° con respecto a la canastilla  M, entonces su ecuación con respecto al giro completo es: Y=2sen (B X/4 +C)