Función periódica
Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama período y significa que:
f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = ... = f(x + k · T), siendo k un número entero
Esto quiere decir que, conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha y a la izquierda por todo el dominio de la función.
La gráfica de una función periódica es del tipo:
Esta gráfica se repite cada intervalo de longitud 2, luego el período es T = 2.
Una funcion es periodica de periodo T si y solo si
F(x+T)= f(x).
Para todo x perteneciente al dominio de definicion.
Las funciones periodicas mas importantes son las funciones circulares de Seno, Coseno y Tangente
Función Periódica:
F(x+T) = f(x)
En T periodo = 360º = 2π = 2(180º)
Generalmente las funciones trigonometricas son funciones periódicas, El menor de tales valores positivos de t (si existe) se llama el período de f. Cada una de las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 π y las otras dos funciones trigonométricas (tangente y cotangente) tienen período π
Ya que las funciones seno, coseno, secante, cosecante tienen período 2π, una vez que conocemos sus valores para 0 “ x < 2π, tenemos todos sus valores; de manera análoga, ya que las funciones tangente y cotangente tienen período, una vez que conocemos sus valores para 0 “ x <π, tenemos todos sus valores.
Las funciones trigonométricas sirven como modelo pera expresar matemáticamente las características de las ondas sonoras. Y a continuación se verán algunas de sus propiedades.
Comencemos por la más simple:
La función f(x)=sin x tiene la representación gráfica siguiente:
La gráfica de la función se repite al incrementar o disminuir el valor de x. A partir de la que se encuentra en el intervalo [0, 2 ], se podría generar todo el resto, Seguirá periódicamente.
Esto es debido a la propiedad siguiente: sin x = sin (2 +x), para cualquier ángulo x. Diremos que la función f(x) = sin x es una función periódica de periodo 2 . Esto viene a decir que la onda se repetirá cada 2 .
Consideremos la función f(x) = 3 sin x:
Gráficamente, ha sufrido una deformación. Ha habido un estiramiento en dirección vertical. El periodo continúa siendo el mismo que el de la función f(x) = sin x, es decir, la onda continúa teniendo la misma longitud pero podemos ver que ha aumentado su amplitud de onda (A).
PARA PENSAR
Observar la grafica de las unciones, luego
responder
GRAFICA N°1
27: Es posible hablar de amplitud en esta función? Justificar la respuesta
R/ Si porque el valor
máximo es 1 y el valor mínimo es -1
28: Cual es el periodo de la función?
R/ El periodo
es: T= 2TT/B
T=5
29: Que función podrá representar la grafica anterior?
R/ La función es: Y= 1SEN2TT/5X
GRAFICA N°2
30: La función anterior tiene la forma: u(x)=asen (bx +c) +
d justificar la respuesta
R/ Porque +C, indica que la función se alarga o desfasa
hacia la derecha
Senx porque la función traslada su corte en el origen D
unidades
D: porque la función se traslada D unidades hacia arriba
L a función se comprime verticalmente D unidades arriba, y C unidades
horizontalmente a la derecha.
31: escribir el periodo y la amplitud de la función anterior
R/ Amplitud: su
amplitud es de 2,5
Periodo: T=
2TT/B
T=4/5
4/5= 2TT/B
4B=1OTT
B= 10TT/4
B= 5TT/2
B= 2,5TT
32: Escribir una fórmula que represente la función anterior
R/ Y=2,5Sen2, 5TT X
RAZONAMIENTO: Escribir V si la afirmación es verdadera
o F si la afirmación es falsa.
26: La función Y=2sen(X-TT) esta desplazada TT unidades.
R/ verdadero porque:
X=-C/B
X=-(-TT)/1
X=TT
X=TT, se desplaza TT unidades a la derecha horizontalmente..
MODELACION: en una rueda de chicago, el ángulo central
formado entre una canastilla y canastilla de 30°. Cuando una canastilla realiza
un giro completo describe una trayectoria de de la formula Y= 2 sen (Bx +
C)
28: escribir la ecuación de las trayectorias seguidas por
las canastillas N y T.
R/ trayectoria
completa X= 360°
Trayectoria para X=30°
360°/30°= 12°
Trayectoria para N y T: Y= 2 sen (B X/12 +C)
29: Si una canastilla P está ubicada 90° con respecto a la
canastilla M, escribir una ecuación que represente su movimiento en un giro
completo.
R/ Trayectoria
completa: X=360°
Para X= 90°
360°/90°=4°
Si la canastilla P está ubicada 90° con respecto a la
canastilla M, entonces su ecuación con
respecto al giro completo es: Y=2sen (B X/4 +C)
